Зацени!

 

4, голосов: 373

Поделись!

Отвлекись!

Интернет-классАлгебраТригонометрияОсновные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества. Формулы, связывающие синус и косинус, косинус и тангенс. Формулы для вычисления тангенса и котанге�

Формула, связывающая синус и косинус.

В этой части речь идет о соотношении

Эта формула позволяет найти синус числа, если известен его косинус, и найти косинус числа, если известен его синус.

Формула выводится из известного уравнения окружности: если окружность имеет центр в начале координат, то сумма квадратов координат любой ее точки равна квадрату ее радиуса: . Так как для любого числа x на числовой окружности абсцисса равна косинусу, а ордината синусу и при этом радиус окружности равен единице, то из формулы окружности непосредственно следует:

При использовании этой формулы нужно учитывать, чему равно само число х. Если х оканчивается в первой четверти, его синус и косинус положительны, и тогда и .

Если х оканчивается во второй четверти, его синус положителен, а косинус отрицателен, и тогда и . Если х оканчивается в третьей четверти, его синус и косинус отрицательны, и . Если же х оканчивается в четвертой четверти, его синус отрицателен, а косинус положителен, и тогда и .

Формулы для вычисления тангенса и котангенса.

Зная синус и косинус числа, мы находим его тангенс и его котангенс по определениям: , . Отсюда следует, что произведение тангенса и котангенса равно единице:

.

Поэтому, зная тангенс числа, котангенс мы находим сразу, и наоборот.

Существенно, что указанными тремя формулами можно пользоваться не всегда. Первая формула неприменима, если , вторая неприменима, если , третья неприменима во всех этих случаях, то есть при , где n - любое целое число.

Формула, связывающая косинус и тангенс.

Зная косинус, можно найти синус, а затем и тангенс. Но обратный путь - от тангенса к косинусу - более сложен. Впрочем, существует формула, которая позволяет оба эти пути проходить сразу. Это формула, в которой всего две функции - косинус и тангенс: .

Доказательство. , ч.т.д.

Пользоваться этой формулой можно только если .

С ее помощью можно найти тангенс числа х, если известен косинус х, и найти косинус числа х, если известен тангенс х. Однако, при этом нужно знать, в какой четверти оканчивается число х. Это скажется на операции извлечения корня. Если число х оканчивается в первой четверти, его косинус и его тангенс положительны, если во второй, - они оба отрицательны, если в третьей, то косинус отрицателен, а тангенс положителен, а если в четвертой, то косинус положителен, а тангенс отрицателен. Зная синус, можно найти косинус, а затем и котангенс. Но обратный путь - от котангенса к синусу - более сложен. Впрочем, существует формула, которая позволяет оба эти пути проходить сразу. Это формула, в которой всего две функции: синус и котангенс:

Доказательство. , ч.т.д.

Пользоваться этой формулой можно только если .

С ее помощью можно найти котангенс числа х, если известен синус х, и найти синус числа х, если известен котангенс х. Однако, при этом нужно знать, в какой четверти оканчивается число х. Это скажется на операции извлечения корня. Если число х оканчивается в первой четверти, его синус и его котангенс положительны, если во второй, то синус положителен, а котангенс отрицателен, в третьей синус отрицателен, а котангенс положителен, а в четвертой они оба отрицательны.