Зацени!

 

рейтинг: 4.1
уже заценили: 434

Поделись!

Интернет-классАлгебраТригонометрияТригонометрические преобразования

Формулы сложения аргументов. Формулы двойного аргумента. Формулы половинного аргумента. Формулы преобразования суммы в произведение. Фор

Формулы сложения аргументов

Синус суммы двух чисел равен сумме произведений синуса первого числа на косинус второго и косинуса первого числа на синус второго:

синус суммы

Доказательство строится с использованием формул приведения:

доказательство формулы синуса суммы, что и требовалось доказать.

 

Синус разности двух чисел равен разности произведений синуса первого числа на косинус второго и косинуса первого числа на синус второго:

синус разности

Доказательство опирается на четность косинуса и нечетность синуса:

доказательтво формулы суммы разности , что и требовалось доказать.

 

Косинус разности двух чисел равен сумме произведений косинусов и произведения синусов данных чисел:

косинус разности

 

Косинус суммы двух чисел равен разности произведения косинусов и произведения синусов данных чисел

косинус суммы

Доказательство опирается на четность косинуса и нечетность синуса:

доказательство формулы косинуса суммы, что и требовалось доказать.

 

Тангенс суммы (разности)

Если числа х, у и х±у входят в область определения тангенса, то тангенс суммы (разности) чисел х и у равен сумме (разности) тангенсов этих чисел, деленной на единицу минус (плюс) произведение тангенсов этих чисел:

тангенс суммы разности, если условия справедливости формулы тангенса суммы разности.

Доказательство.

доказательство формулы тангенса суммы разности,

что и требовалось доказать.

Формулы двойного аргумента

Положив в формулах синуса суммы, косинуса суммы и тангенса суммы y=x , получим формулы двойного аргумента:

синус двойного аргумента

косинус двойного аргумента

тангенс двойного аргумента, где условия справедливости формулы тангенса двойного аргумента

Заметим, что формула косинуса двойного угла имеет два разных продолжения, так как в ней можно выразить cos^2 x через sin^2 x, а можно выразить sin^2 x через cos^2 x :

косинус двойного аргумента

косинус двойного аргумента .

Формулы половинного аргумента

Формула синуса половинного аргумента

Среди формул двойного аргумента для синуса и косинуса есть такие, в которых участвуют всего два выражения. Это формулы косинуса двойного аргумента. В одной из этих формул имеются косинус двойного аргумента и синус «одинарного» аргумента. Заменив в этой формуле на х, а х на х/2, мы получаем формулу синуса половинного аргумента:

косинус двойного аргумента,

косинус,

синус половинного аргумента.

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в верхней полуплоскости, то используется знак +, а если в нижней, то знак -.

Формула косинуса половинного аргумента

Используем другую формулу косинуса двойного аргумента, в которой присутствует еще только косинус «одинарного» аргумента. Заменив в этой формуле на х, а х на х/2, мы получаем формулу косинуса половинного аргумента:

косинус двойного аргумента,

косинус,

косинус половинного аргумента.

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в правой полуплоскости, то используется знак +, а если в левой, то знак -.

Формулы тангенса половинного аргумента

Поделив синус половинного аргумента на косинус половинного аргумента, мы получаем формулу тангенса половинного аргумента:

тангенс половинного аргумента, где ограничения на x.

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в первой или в третьей четвертях, то используется знак +, а если во второй или в четвертой, то знак -. Но имеются еще две формулы для тангенса половинного аргумента, свободные от иррациональности. Вот как они выводятся:

тангенс половинного аргумента, ограничения на x.

тангенс половинного аргумента, ограничения на x.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Воспользуемся формулами тангенса половинного аргумента, чтобы выразить через него синус и косинус «одинарного» аргумента: при этом обозначим тангенс половинного аргумента через t:

обозначение тангенса половинного аргумента через t

Выражение косинуса через тангенс половинного аргумента

Выражение косинуса через тангенс половинного аргумента, откуда

синус.

Тангенс выражается через тангенс половинного аргумента по уже известной нам формуле:

тангенс, где ограничения на x, n принадлежит Z.

В итоге имеем следующие формулы выражения тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

  1. выражение синуса через тангенс половинного аргумента;
  2. выражение косинуса через тангенс половинного аргумента;
  3. выражение тангенса через тангенс половинного аргумента.

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций:

  1. сумма синусов;
  2. разность синусов;
  3. сумма косинусов;
  4. разность косинусов;
  5. сумма синуса и косинуса, где сумма синуса и косинуса определяется из соотношения ксинус, синус;
  6. сумма тангенсов;
  7. разность тангенсов.

Формулы преобразования произведения в сумму

  1. произведение синуса и косинуса, то есть произведение синуса и косинуса двух чисел равно полусумме синуса суммы этих чисел и синуса их разности.
  2. произведение косинусов, то есть произведение косинусов двух чисел равно полусумме косинуса суммы этих чисел и косинуса их разности.
  3. произведение синусов, то есть произведение синусов двух чисел равно полуразности косинуса разности этих чисел и косинуса их суммы.