Зацени!

 

3.7, голосов: 324

Поделись!

Отвлекись!

Интернет-классАлгебраПервообразная функции

Правила нахождения первообразной функции. Площадь криволинейной трапеции.

Первообразная функции

Функцияназывается первообразной функции, если функцияявляется производной функции.

У одной и той же функциимного первообразных. Если- первообразная функции, то и любая функция, гдеС- число, является первообразной той же функции.

Доказательство.. Верно и обратное: еслии- две первообразные одной и той же функции, то. И в самом деле, так какпроизводная G(x)=f(x) и производная F(x)=f(x)топроизводная G(x)= производная F(x), то есть. А производная равна нулю только у постоянной функции. Отсюда и получается, что, или, ч.т.д.

Неопределенным интегралом функцииназывается множество первообразных этой функции.

Неопределенный интеграл функцииобозначается символом. Чтобы найти интеграл от данной функции, нужно найти любую ее первообразную и прибавить к ней произвольное числоС. Так,, и т.д.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямымих = аих = bи кривой, причемнеотрицательна на отрезке. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

  1. разделить отрезокоси абсцисс наnравных отрезков;
  2. провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой;
  3. заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основаниеми высотой, равной значению функцииfв левом конце каждого отрезка;
  4. найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна, где - любая из первообразных функции, график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

  1. находится любая из первообразныхфункции.
  2. записывается.- это формула Ньютона-Лейбница.

>исследование функции на экстремум

>исследование функции на экстремумpic15

Правила нахождения первообразных

Первообразная суммы двух функций

Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций:.

Доказательство:Пустьи- первообразные функцийи. Тогда. Но известно, что, то есть. Тем самым доказано, что функция- первообразная функции. Отсюда получаем:. И так какС1,С2иС3- произвольные числа, то окончательно имеем:, ч.т.д.

Первообразная произведения функции на число

Еслипервообразная функции, то.

Доказательство:Пустьпервообразная функции ф174. Тогда, а, откуда и получается доказываемое равенство.