Системы уравнений. Общие приемы и методы решения систем уравнений.

Общие приемы решения систем уравнений

Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.

Несовместной называется линейная система, не имеющая решения. Неопределенной называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.

Существуют различные приёмы решения систем уравнений.

Метод подстановки заключается в следующем:

  1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);

  2. Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;

  3. Находят корни этого уравнения;

  4. Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

Метод сложения основан на следующих теоремах:

  1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;

  2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

  1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
  2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения ни при каких значениях одновременно не обращаются в нуль, то системы

равносильны.