Общие приемы решения уравнений. Равносильность уравнений. Уравнения с одной переменной. Решение рациональных уравнений

Общие приемы решения уравнений

  1. Замена уравнения уравнением

    • При решении показательных уравнений

    • При решении логарифмических уравнений

    • При решении иррациональных уравнений

    Этот метод можно применять только в том случае, когда функция - монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если немонотонная функция, то этот метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

  2. Метод разложения на множители

    Суть этого метода в следующем: уравнение можно заменить совокупностью уравнений .

    Решив уравнения этой совокупности, нужно выбрать те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние, т.е:

    ,

    где

  3. Метод введения новой переменной

    Если уравнение удалось преобразовать к виду , то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , затем решить совокупность уравнений , где - корни уравнения .

  4. Метод использования графиков и свойств функций

    Графический метод решения уравнения заключается в том, что нужно построить графики функций и найти точки их пересечения. Корнями уравнения будут абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить количество корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.

    В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций. Если, например, одна из функций возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать).

    Если на промежутке X наибольшее значение одной из функций равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение равносильно на промежутке X системе уравнений: .

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Если уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теоремы о равносильности уравнений

  1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному: или ;
  2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному: ;
  3. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному: ;
  4. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится уравнение, равносильное данному: , ;
  5. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение , имеющее смысл для любого x из области определения, то получится уравнение, равносильное данному: если ; , если .

Уравнения с одной переменной

Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной Х. Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Решение рациональных уравнений

Линейное уравнение

Квадратное уравнение

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня;

если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня ;

если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Теорема Виета:

Пусть дано уравнение

Если x1 и x2 - различные его корни, то

Если уравнение , называемое приведенным, имеет два различных корня x1 и x2, то

Если уравнение имеет при два различных корня x1 и x2, то имеет место тождество:

Дробно-рациональное уравнение







Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Модуль действительного числа а - это само это число а, если =0" width="37" height="18"/> , и противоположное число , если . Таким образом, . .

Пример

Решить уравнение .

Если , то либо , либо . Это значит, что заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: ; . Из уравнения находим ; из уравнения находим .

Ответ: , .

Уравнения с параметрами

Если дано уравнение , где a, b, c. ... k, x - переменные величины, которое надо решить относительно переменной x, называют уравнением с параметрами. При решении уравнения действительные числа a, b, c, ... k считаются постоянными.

В частности, уравнение - уравнение с параметром а. Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют значения x, удовлетворяющие данному уравнению.