Зацени!

 

рейтинг: 4
уже заценили: 111

Поделись!

Интернет-классАлгебраУравнения и неравенстваРешение неравенств

Решение неравенств. Неравенства с одной переменной. Решение линейных неравенств. Метод интервалов. Неравенства с модулем


Неравенства с одной переменной

Пусть дано неравенство . Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны.

Если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить или вычесть одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны для любого действительного числа a.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны для любого .

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны для любого .

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Пусть известно, что для любого действительного числа x справедливо равенство тогда равносильны неравенства и .

Для графического решения неравенства нужно построить графики функций и и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции расположен выше графика функции .

Два неравенства и называются неравенствами одинакового смысла, а вида и неравенствами противоположного смысла.

Преобразование неравенств с одной переменной:

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида b" width="44" height="18"/> (или соответственно ).

Если 0" width="37" height="18"/>, то неравенство b" width="44" height="18"/> равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

Если , то неравенство b" width="44" height="18"/> равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

Если , то неравенство принимает вид , т.е. оно не имеет решений, если =0" width="36" height="18"/>, и верно при любых х, если .

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Решение рациональных неравенств методом промежутков (методом интервалов)

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где и - многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим функцию , где . Если , то каждый из сомножителей положителен, и, следовательно, на промежутке имеем . Если , то , а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале имеем . Аналогично на интервале будет и т. д.

Изменение знаков функции удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, так называемой «кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху. На тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство , на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем .

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида:

, где числа попарно различны. Изменение знаков функции мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки . На этом основан метод промежутков, который применяется для решения рациональных неравенств.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения и при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства и равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля: