Зацени!

 

4.2, голосов: 565

Поделись!

Отвлекись!

ШпаргалкиМатематикаСвойства степеней

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени

(свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате .pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерамирассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней"(формат .pdf)


Свойства степеней (кратко)

  1. `a^0=1`, если `a!=0`
  2. `a^1=a`
  3. `(-a)^n=a^n`,если `n` - четное
  4. `(-a)^n=-a^n`,если `n` - нечетное
  5. `(a*b)^n=a^n*b^n`
  6. `(a/b)^n=a^n/b^n`
  7. `a^(-n)=1/a^n`
  8. `(a/b)^(-n)=(b/a)^n`
  9. `a^n*a^m=a^(n+m)`
  10. `a^n/a^m=a^(n-m)`
  11. `(a^n)^m=a^(n*m)`

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени
Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице.
`a^0=1`, если `a!=0`
Например: `112^0=1`, `(-4)^0=1`, `(0,15)^0=1`

2-е свойство степени
Любое число в первой степени равно самому числу.
`a^1=a`
Например: `23^1=23`, `(-9,3)^1=-9,3`

3-е свойство степени
Любое число в четной степени положительно.
`a^n=a^n`, если `n` - четное (делящееся на 2) целое число
`(-a)^n=a^n`,если `n` - четное (делящееся на 2) целое число
Например: `2^4=16`, `(-3)^2=3^2=9`, `(-1)^10=1^10=1`

4-е свойство степени
Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак.
`a^n=a^n`, если `n` - нечетное (не делящееся на 2) целое число
`(-a)^n=-a^n`,если `n` - нечетное (не делящееся на 2) целое число
Например: `5^3=125`, `(-3)^3=-3^3=-27`, `(-1)^11=-1^11=-1`

5-е свойство степени
Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот).
`(a*b)^n=a^n*b^n`, при этом `a`, `b`, `n` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `(2,1*0,3)^(4,5)=2,1^(4,5)*0,3^(4,5)`

6-е свойство степени
Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот).
`(a/b)^n=a^n/b^n`, при этом `a`, `b`, `n` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `((1,7)/5)^(0,1)=(1,7)^(0,1)/5^(0,1)`

7-е свойство степени
Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.)
`a^(-n)=1/a^n`,при этом `a` и `n` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `7^(-2)=1/7^2=1/49`

8-е свойство степени
Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени.
`(a/b)^(-n)=(b/a)^n`,при этом `a`, `b`, `n` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `(2/3)^(-2)=(3/2)^2`, `(1/4)^(-3)=(4/1)^3=4^3=64`

9-е свойство степени
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним.
`a^n*a^m=a^(n+m)`,при этом `a`, `n`, `m` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `2^3*2^5=2^(3+5)=2^8`, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней `3^(-2)*3^6=3^(-2+6)=3^4`, `4^7*4^(-3)=4^(7+(-3))=4^(7-3)=4^4`

10-е свойство степени
При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
`a^n/a^m=a^(n-m)`,при этом `a`, `n`, `m` - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: `(1,4)^2/(1,4)^3=1,4^(2-3)=1,4^(-1)`, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней`3^(-2)/3^6=3^(-2-6)=3^(-8)`, `4^7/4^(-3)=4^(7-(-3))=4^(7+3)=4^10`

11-е свойство степени
При возведении степени в степень степени перемножаются.
`(a^n)^m=a^(n*m)`
Например: `(2^3)^2=2^(3*2)=2^6=64`

См. также Таблица степеней
См. также Степени и корни
См. также Свойства корней