Зацени!

 

4, голосов: 401

Поделись!

Отвлекись!

ШпаргалкиМатематикаСвойства корней

Свойства корней

Скачать шпаргалку "Свойства корней" (формат .pdf)


Свойства корней (кратко)

  1. `root n (a*b)=root n a *root n b`
  2. `root n(a/b) = root n a/ rootnb`
  3. `root n (root ma)=root (n*m) a`
  4. `root n a = root (n*k) (a^k)`
  5. `root n (a^k) = (root n a) ^k`
  6. `root n (a^n) = a`, если `n` нечетно
    `root n (a^n) = |a|`, если `n` четно
  7. `b root n a = root n (a*b^n)`
  8. Если `0<=a<=b`, то `root n a <= root n b`

Свойства корней (с примерами)

1-е свойство корней
Корень из произведения чисел равен произведение корней из этих чисел.
`root n (a*b)=root n a *root n b`
Например: `root 3 (8*27) = root 3 8 * root 3 27 = 2*3 = 6`

Замечание 1: Обратите внимание, что под корнем четной степени может быть только неотрицательное число! То есть следующее преобразование не допустимо `root 2 ((-4)*(-9))=root 2 (-4) * root 2 (-9)`, хотя выражение в левой части может быть вычислено:`root 2 ((-4)*(-9))= root 2 36 = 6`
Замечание 2: Квадратный корень или корень второй степени (`n=2`) это частный случай арифметического корня. В этом случае обычно степень корня не указывают: `root 2 45 = sqrt 45`

2-е свойство корней
Корень из частного чисел равен частному корней из этих чисел.
`root n(a/b) = root n a/ rootnb`, `b!=0`
Например: `root 3 (1/27) = root 3 1 /root 3 27 = 1/3`

3-е свойство корней
При извлечении корня из корня, степени корней перемножаются.
`root n (root ma)=root (n*m) a`
Например: `root 3 (root 4 5)= root (3*4) 5 = root 12 5`, `sqrt (root 3 7)=root(2*3) 7 =root 6 7`, `sqrt sqrt 16 = root (2*2) 16 = root 4 16 = 4`

4-е свойство корней
Если число под знаком корня возвести в степень k, а показатель степени умножить на k, то первоначальное выражение не изменится.
`root n a = root (n*k) (a^k)`
Например:`root 3 27 = root (3*2) (27^2)=root 6 729`, и наоборот `root 6 81 = root (2*3) (9^2) = root 3 9`

5-е свойство корней
Корень из числа возведенного в степень равен корню из этого числа возведенному в эту степень.
`root n (a^k) = (root n a) ^k`
Например: `sqrt (9^3) = (sqrt 9)^3=3^3=27`

6-е свойство корней
Корень степени n из числа в степени n равен самому числу, если n нечетно, или модулю числа, если n четно.
`root n (a^n) = a`, если `n` нечетно
`root n (a^n) = |a|`, если `n` четно
Например: ` root 5 (8^5) = 8`, `root 3 ((-7)^3) = -7`, `root 6 (35^6)=| 35|= 35`, `root 4 ((-5)^4) = |-5| = 5`

7-е свойство корней
Чтобы внести число под знак корня нужно возвести его в степень корня.
`b root n a = root n (a*b^n)`
Например: `2 sqrt 3 = sqrt (3*2^2) = sqrt (3*4) = sqrt 12`, и, наоборот,
`root 3 18 = root 3 (2*27) = root 3 (2* 3^3) = 3 root 3 2`

8-е свойство корней
Если первое число меньше второго, то при извлечении корня одной и той же степени из обоих чисел, это неравенство сохраняется.
Если `0<=a<=b`, то `root n a <= root n b`
Например: `4<16` и `sqrt 4 < sqrt 16` `(2<4)`

См. также Таблица корней
См. также Степени и корни
См. также Свойства степеней